今日たけしの数学の番組見てておもしろい問題あったからつい友達とやってしまった、眠いのにｗ
（見た人いるかな(・・?)）
肝心の答えのところ見逃したので自分たちでやらなきゃいけなかったんですがなかなかおもしろかった
二つのさいころの目の和のパターンを、目の違う二つのさいころで実現するという
ただし目はかぶっていいが自然数(0はだめ)
とりあえず、東大生がやってたゴリ押しのパターンは意外と楽でそっちからやってみると
まず、さいころAとBに分けて考える
和2を実現するために、AもBも1は入る
3を実現するために、2がどちらかに入る、ここではAとする
3は二つ必要だからもうひとつどちらかに入れる
ここでBに入れると、両方123456に近づいて行ってしまい、目が変わらない方向に行ってしまうことに気付くのでだめ、Aに入れる
ここまででこんな感じ
次4が3つだが、4は1,3か2,2の組み合わせ、2を入れると3がもう一つできてしまうから3
Bに入れたとすると、あと2つ作らなきゃいけないから、AとBどちらにどう入れようとなるけど、ちょっと時間がかかるがAに二つ入れないといきづまることがまたわかる
ここまででこう
次は4つの5
5は1,4、2,3の二パターン、2,3がもう二つあり、2も3ももう入れられないから、4を入れるがA、Bに一つずつ入れてみる
一応このままいくとして、今度は5つの6を考えると、6は1,5、2,4、3,3の三パターンで、2と4はもう入れられないから、5をBに入れる
ここまでで
もうあとはこういうくりかえしで、6つの7を実現するために、6をB、そして最後に12を実現するために8
以上で
たぶんこれで合ってるはず(・・;)
さて、やりかただけ紹介されていた、もっと数学的なエレガントな、そしてめんどくせーんだよそんなんおもいつくかよ！っていう解き方が、こちら
上のやりかたで先に答えを出してしまったので若干逆算でやったんですが、もともと答え見逃したし、たぶん解き方の解説も全然くわしくなかったので苦戦したんですが友達が解いたのでやりかた載せます
以外に高校の知識が役に立っているという・・
やっぱ積み重ねですね・・
まず、次の式を考えます
一般に
が成り立ちます。これは帰納法で簡単に証明できます。やってみてください。
で最初の式に戻って見てみますと、xの次数がさいころの和、係数が和の数に対応してることがわかりますか
これは掛け算が指数では足し算になることと、次数がベクトル空間の次元と関係してて一次独立化してることとが関係しています（たぶん）
これがただの数でも成り立ってるかどうかをためそうと思ったんですが、途中でわけわかんなくなったので途中でやめました、線形代数ちゃんと学びますあせあせ（飛び散る汗）、それからやります
まぁ、もっと簡単に考えればさいころの目をxの次数に見立てて同じ状況を数学的に作り出せるということですね
さて、こんなことまず普通思いつきませんが、これが仮に思いついたとして(笑)、上式を二つの多項式の積に因数分解でき、かつその各多項式のそれぞれの項の係数の和が6になれば、その次数がさいころの目、係数がその目の数になります
（わからない人は考えてみましょう）
ここで、剰余の定理！
-1を代入すると0になることから（←俺これまずわすれてたしあせあせ（飛び散る汗））
よって
さて、ここまではなんなくいくんですが、なんと！
これらをどのような組み合わせにしても係数の和が6の多項式の積の形にはできないんです
1は
を意味するので必ずxをかけなければいけないから、...と考えるとすぐにいきづまります
さーて、こっからめっちゃ悩んで虚数を使うのかとか、虚数を使うとすると果てしなく複雑になることとかでめっちゃ悩んでたんですが、
逆算的ではありますが、
を
に持っていければいいのでということで、またもや高校の時の典型変形で解決します（わさびが解決します）
（さっきゴリ押しで出した答えから
ということがわかるので）
このように左側が
になっています
よって
よって
となります^^
ふぅ、楽しかった（この日記書いてるときじゃなくて、解いてるときね☆）
まぁ二つ目の解き方は普通はしないよね笑、現実的でないし
ただ、こんな解き方もあるっていうのはすごかった
おもしろい！
とりあえず数論やりたい、数学やりたい
の前にまず線形と解析がんばろーう